где применяются системы уравнений в жизни

Как используются линейные уравнения в повседневной жизни?

Содержание:

Линейные уравнения используют одну или несколько переменных, где одна переменная зависит от другой. Практически любая ситуация, когда существует неизвестное количество, может быть представлена линейным уравнением, например, вычисление дохода с течением времени, расчет скорости пробега или прогнозирование прибыли. Многие люди используют линейные уравнения каждый день, даже если они делают вычисления в своей голове, не рисуя линейный график.

Различные цены

Представьте, что вы едете на такси во время отпуска. Вы знаете, что служба такси берет 9 долларов, чтобы забрать вашу семью из отеля, и еще 0,15 доллара за милю за поездку. Не зная, сколько миль будет до каждого пункта назначения, вы можете установить линейное уравнение, которое можно использовать для определения стоимости любой поездки на такси, которую вы совершаете в своей поездке. Используя «x» для представления количества миль до пункта назначения и «y» для представления стоимости поездки на такси, линейное уравнение будет иметь вид: y = 0,15x + 9.

Ставки

Линейные уравнения могут быть полезным инструментом для сравнения ставок заработной платы. Например, если одна компания предлагает платить вам 450 долларов в неделю, а другая предлагает 10 долларов в час, и обе просят вас работать 40 часов в неделю, какая компания предлагает лучшую ставку оплаты? Линейное уравнение может помочь вам понять это! Первое предложение компании выражается как 450 = 40x. Предложение второй компании выражается как y = 10 (40). После сравнения двух предложений уравнения показывают, что первая компания предлагает лучшую ставку оплаты в 11,25 долл. В час.

составление бюджета

Планировщик вечеринок имеет ограниченный бюджет на предстоящее мероприятие. Шелл нужно выяснить, сколько будет стоить ее клиенту арендовать помещение и платить за еду на человека. Если стоимость аренды помещения составляет 780 долл. США, а цена на человека на продукты питания составляет 9,75 долл. США, можно построить линейное уравнение, чтобы показать общую стоимость, выраженную в виде у, для любого количества присутствующих людей, или х. Линейное уравнение будет записано в виде y = 9,75x + 780. С помощью этого уравнения планировщик вечеринок может заменить любое количество гостей вечеринки и предоставить ее клиенту фактическую стоимость мероприятия с учетом расходов на питание и аренду.

Делать прогнозы

Источник

Области применения

Дата добавления: 2014-11-28 ; просмотров: 440 ; Нарушение авторских прав

Исследование некоторых физических систем приводит к математическим моделям в форме систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Иногда СЛАУ появляются в процессе математического моделирования как промежуточный шаг (этап) в решении более сложной задачи. Есть значительное число научно-технических задач, в которых математические модели сложных нелинейных систем посредством дискретизации или линеаризации сводятся к решению СЛАУ.

Примеры задач, использующих математические модели в форме СЛАУ:

1) при проектировании и эксплуатации электротехнических устройств требуется проведение расчета и анализа их работы в стационарных режимах. Задача сводится к расчету эквивалентных схем, в основе которого лежит формирование и решение СЛАУ;

3) при исследовании процессов в системах, математические модели которых строятся в классе дифференциальных уравнений в частных производных. В результате разностной аппроксимации исходной модели при определенных условиях приходят к математическим соотношениям в форме СЛАУ;

4) сущность многих физических процессов математически отображается с помощью интегральных уравнений. Ввиду сложности решения многих из них исследователь предпочитает свести задачу к решению модели в форме СЛАУ, используя известные методы аппроксимации.

5) исследование систем автоматического регулирования в установившемся режиме приводит во многих случаях к статическим моделям в форме СЛАУ.

Система линейных уравнений порядка n имеет вид:

(2.1)

или в векторно-матричной форме:

(2.2)

где – вектор свободных членов;

– вектор неизвестных;

A – матрица коэффициентов системы, размером .

Источник

Где применяются системы уравнений в жизни

Вот пример прямой задачи: сколько весит кусок сплава, на изготовление которого пошло 0,6 дм³ меди (уд. вес 8,9 кг / дм³) и 0,4 дм³ цинка (уд. вес 7,0 кг/ дм³)? При ее решении мы находим вес взятой меди (8,9 · 0,6 = 5,34 (кг)), затем вес цинка (7,0 · 0,4 = 2,8 (кг)) и, наконец, вес сплава (5,34 + 2,8 = 8,14 (кг)). Выполняемые действия и их последовательность диктуются самим условием задачи.

Вот пример косвенной задачи: кусок сплава меди и цинка объемом в 1 дм³ весит 8,14 кг. Найти объемные количества меди и цинка в этом сплаве. Здесь из условия задачи не видно, какие действия ведут к ее решению. При так называемом арифметическом решении нужно проявить подчас большую изобретательность, чтобы наметить план решения косвенной задачи. Каждая новая задача требует создания нового плана. Труд вычислителя затрачивается нерационально. Для рационализации вычислительного процесса и был создан метод уравнений, который является основным предметом изучения в алгебре. Суть этого метода такова.

1.Искомые величины получают особые наименования. Мы пользуемся для этой цели буквенными знаками (предпочтительно последними буквами латинского алфавита х, у, z, u, v). Условие задачи с помощью этих знаков и знаков действий (+, — и т. д.) «переводится на математический язык», т. е. связи между данными и искомыми величинами мы выражаем не словами и фразами разговорного языка, а математическими знаками. Каждая такая «математическая фраза» и есть уравнение.

2.После этого мы решаем уравнение, т. е. находим значения искомых неизвестных величин. Решение уравнения производится совершенно механически, по общим правилам. Нам не приходится больше учитывать особенности данной задачи; мы только должны применять раз навсегда установленные правила и приемы. (Выводом этих правил и занимается в первую очередь алгебра.)

Таким образом, уравнения нужны для того, чтобы механизировать труд вычислителя. После того как уравнение составлено, решение его можно получить вполне автоматически (в настоящее время сконструирован ряд таких автоматов). Вся трудность решения задачи сводится лишь к составлению уравнения.

Источник

Использование систем линейных уравнений

Рассмотрим пример задачи, приводящей к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений.

Пример 4. Прогноз выпуска продукции по запасам сырья. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех типов. Необходимые характеристики производства указаны в табл. 5.2. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Задачи такого рода типичны при прогнозах и оценках работы предприятий, экспертных оценках проектов освоения месторождений полезных ископаемых, а также в планировании экономических показателей предприятий.

Расход сырья по видам продукции, вес. ед./изд.

Запас сырья, вес. ед.

Решение. Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через дг,, х₂ и*₃. Тогда при условии полного расхода запасов для каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду соответственно (в условных единицах):

Общая постановка задачи прогноза выпуска продукции. Пусть

является матрицей затрат сырья т видов при выпуске продукции п видов. Тогда при известных объемах запаса каждого вида сырья, которые образуют соответствующий вектор

где индекс Т означает транспонирование вектора-строки в вектор-столбец.

Источник

Где применяются системы уравнений в жизни

Обучение решению прикладных задач математическими методами не является задачей математических курсов, а задачей курсов по специальности.

Это положение касается одного из тех вопросов, по которому особенно часто критикуются как математические курсы в высших технических учебных заведениях, так и учебники по математике для них. Безусловно, что простейшие конкретные примеры, иллюстрирующие применение математических понятий для изучения реальных явлений, как-то: иллюстрация понятия производной скоростью движения материальной точки, интеграла – работой силы, составления дифференциальных уравнений – выводом уравнения радиоактивного распада и т.п. весьма полезны.

Однако, систематическое обучение применению математических методов, изучаемых ими в курсе математики, к решению прикладных задач обязательно должно осуществляться на профилирующих кафедрах. Это должно являться непреложной обязанностью этих кафедр. Только в этом случае у студентов может создаться убеждённость в полезности и необходимости знания и использования математических методов в его профессии.

Если на профилирующих кафедрах это не делается, то, возможно, это признак того, что для данной специальности вовсе и не нужна математика в том объёме, в котором она изучается в данном ВУЗе, а может быть, и признак неблагополучной постановки изучения в нём специальных дисциплин. Во всяком случае, существенно большая польза от изучения математики будет в том случае, когда в процессе всего обучения она будет достаточно широко использоваться при изложении специальных дисциплин, когда на старших курсах будут читаться нужные для специальности дополнительные главы математики, не входящие в основной курс, короче тогда, когда в ВУЗе будет осуществлено непрерывное математическое образование.

Смысл этого положения отнюдь не в разделе сфер влияния, а, наоборот, в эффективном сотрудничестве математических и специальных кафедр.

К математическим курсам нередко предъявляются претензии, что в них в недостаточном количестве выводятся дифференциальные уравнения, описывающие реальные явления. В этом вопросе следует чётко отдать себе отчёт в том, что математическое моделирование реальных явлений, т.е. составление математической модели такого явления, – это не задача математики.

Безусловно, что обучение умению составлять математические модели реальных явлений является одной из первоочередных задач в процессе образования специалистов, и потому этому должно уделяться гораздо больше времени и внимания, чем это часто делается.

Особенно следует подчеркнуть важность и необходимость для многих специальностей умения составлять не только детерминированные математические модели, но и вероятностно-игровые, умения выбирать и использовать для этого статистические и опытные данные, обрабатывая их в случае необходимости с помощью современной вычислительной техники.

Методика обучения математическому моделированию разработана в настоящее время совершенно недостаточно. Однако было бы неправильно возлагать основную работу в этом направлении на математиков. Главную роль здесь должны играть специалисты.

Не следует, конечно, думать, что математики не должны принимать участие в составлении математических моделей и обучать этому составлению. Совсем наоборот. Это не только желательно, но и необходимо. Хотя математическое моделирование не входит в математику, но оно входит в деятельность математиков. Поэтому обучение ему студентов должно проводиться совместно специалистами в соответствующих областях и математиками, но делаться это должно в специальных курсах на высоком профессиональном уровне.

Математическое моделирование заслуживает особенного внимания, поскольку оно играет все большую роль во многих областях современной науки и техники, являясь мощным и экономически выгодным средством для проведения научных исследований, так и для выполнения самых разнообразных экспериментальных и конструкторских работ. Например, использование математических моделей при проектировании технических систем и расчёт их на ЭВМ экономически во много раз более выгоднее создания экспериментальных образцов.

Однако математическое моделирование и проведение с помощью модели «математического эксперимента» дают не только экономическую выгоду, а существенно расширяют возможности эксперимента. Математический эксперимент можно провести для изучения явлений, которые в естественных условиях протекают столь медленно, что постановка реального эксперимента теряет всякий смысл. Более того, математический эксперимент можно применить для исследования таких ситуаций, которые мы просто не в силах воспроизвести в реальных условиях.

Не нужно, впрочем, думать, что математический эксперимент полностью заменяет реальный. Это не так, прежде всего потому, что математический эксперимент имеет дело не с самим явлением, а лишь с его математической моделью. Однако интересно и важно отметить, что математический эксперимент, как и всякий эксперимент, может привести к открытию новых реальных явлений, например, физических.

Таким образом, математическое моделирование в сочетании с современной вычислительной техникой даёт в руки учёных качественно новые методы исследования, качественно новые методы управления процессами как естественными, так и порождёнными деятельностью человека. Его широкое использование необходимо для успешного развития наук. Оно составляет неотъемлемую часть процесса накопления знаний человеческим обществом и приводит к необходимости подготовки специалистов нового типа, владеющих не только своей специальностью, но и математикой, знающих методы математического моделирования и умеющих их творчески использовать. Поэтому в наши дни должно быть затрачено особое усилие на подготовку специалистов, способных квалифицированно решать задачи математического моделирования.

Вопрос о подготовке таких специалистов делается сейчас одним из самых важных и актуальных вопросов современного образования. Правильная организация обучению составления математических моделей возможна лишь при хорошей координации усилий в этом направлении математиков и специалистов в соответствующих областях.

Рассмотрим пример построения математической модели при изучении темы «Системы линейных алгебраических уравнений».

Системы линейных алгебраических уравнений являются важным атрибутом при расчете сложных электрических цепей различными методами: по законам Кирхгофа, контурными токами, узловыми потенциалами. Остановимся на методе контурных токов [1].

Он основан на введение промежуточных неизвестных значений – контурные токи. Уравнения составляются по второму закону Кирхгофа. Метод удобно применять, когда число уравнений составленных по первому закону Кирхгофа, больше числа составленных по второму. [2]

Рассмотрим алгоритм расчета:

1. Вначале задаются токи ветвей;

2. Задаются направления контурных токов для каждого независимого контура;

3. При наличии идеальных источников тока, через него будет проходить контурный ток, равный величине источника

4. Для неизвестных контурных токов составляется линейное уравнение;

5. После определения значений контурных токов, определяются токи ветвей [3].

В качестве примера рассчитаем электрическую схему (рисунок).

E1 = 15 B, E2 = 20 B, E3 = 17 B,

R1 = 12 Ом, R2 = 17 Ом, R2 = 25 Ом,

R2 = 17 Ом, R3 = 25 Ом,

R4 = 10 Ом, R5 = 15 Ом.