Где в жизни применяются квадратные уравнения
История квадратных уравнений
Необходимость решать уравнения не только первой степени, но и второй ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Правила решения этих уравнений, изложенные в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, но в этих текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
Решением квадратных уравнений занимались и в Древней Греции такие ученые как Диофант, Евклид и Герон. Диофант Диофант Александрийский – древнегреческий математик, живший предположительно в III веке нашей эры. Основное произведение Диофанта – «Арифметика» в 13 книгах. Евклид. Евклид древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике Герон. Герон – греческий математик и инженер впервые в Греции в I век н.э. дает чисто алгебраический способ решения квадратного уравнения
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 + bх = с, а> 0. (1) В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.
«Обезьянок резвых стая
А двенадцать по лианам Всласть поевши, развлекалась
Стали прыгать, повисая
Их в квадрате часть восьмая
Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась
Ты скажи мне, в этой стае?»
Квадратные уравнения в Европе XVII века
Определение квадратного уравнения
Коэффициенты квадратного уравнения
Какие из данных уравнений не являются квадратными?
Урок по алгебре «Квадратные уравнения в нашей жизни». 8 класс.
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 19
г. Димитровград
Ульяновская область
УРОК АЛГЕБРЫ
« КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В НАШЕЙ ЖИЗНИ »
Подготовила и провела
Егорычева Оксана Юрьевна
Тема: «Квадратные уравнения в нашей жизни».
Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая, делать его немного занимательным.
I . Организационный момент:
Добрый день дорогие друзья, гости! Я рада приветствовать Вас на нашем уроке, и прошу всех вас улыбнуться друг другу, а ребят прошу, мысленно пожелать успехов и себе и товарищам. Садитесь.
Сегодняшний урок мы проведем с использованием рейтинговой системы контроля знаний. У вас имеются оценочные листы, в которых вы выставляете баллы, полученные за каждый этап урока. Каждый правильный ответ оценивается в 1 балл.
На доске уравнение: 15х 2 + х + 2019 = 0
— Назовите вид данного уравнения. Назовите его коэффициенты.
О каком событии говорят коэффициенты уравнения? (Дата проведения урока)
— Как вы знаете, вчера мы встретили Старый новый год. А по китайскому календарю этот год будет годом свиньи. Поэтому сегодня мы будем решать задачу об этих славных животных.
Подготовьтесь к выразительному чтению задачи.
Вопрос: С чего придется начать, чтобы ответить на вопрос задачи? (Составить уравнение)
Что необходимо для составления уравнения? (ввести неизвестную)
Что мы обозначим за х? (количество всех поросят)
Как обозначить часть восьмую поросят?
А в квадрате? (
) 2
Что еще известно о поросятах? (12 поросят в луже тёпленькой лежат)
А как узнать, сколько их всего было? (() 2 + 12)
D 1 = k ²- ac ; Х= 
Х= 
S = a • b .
Поросят весёлых стая,
Всласть поевши, развлекалась.
Часть восьмая их в квадрате
Хрюкала и забавлялась.
А двенадцать поросят
В луже тёпленькой лежат.
Ты скажи мне поскорей,
Сколько было всех свиней?
Самостоятельно составьте уравнение. Сравните его.
Какой вид оно имеет? (квадратное)
Слайд 5
Эта задача подвела нас к теме урока.
Сформулируйте тему нашего урока. (Учащиеся формулируют тему)
Я бы хотела уточнить. Сегодня мы убедимся, что без умения решать квадратные уравнения, невозможна жизнь современного человека.
Тема урока: Квадратные уравнения в нашей жизни.
Запишите её в рабочих листах.
Чтобы урок для вас стал полезен, поставьте перед собой цель работы и запишите её в рабочем листе, выбрав один из вариантов.
-Какие цели мы поставим к уроку? (вспомним и обобщим все те знания, которые мы получили на предыдущих уроках).
— Ребята, скажите, что должен уметь делать каждый из вас на сегодняшнем уроке? (уметь правильно, быстро и рационально решать квадратные уравнения)
Слайд 6
2. Актуализация знаний.
Слайд 7
1. Какое же уравнение называется квадратным уравнением? (ах 2 + вх + с =0)
2.Как называются числа а, в и с в квадратном уравнении.
4.Как называются квадратные уравнения, у которых хотя бы один из коэффициентов в или с =0 (неполное)
5. Что нам необходимо чтобы решить полученное нами уравнение в задаче? (дискриминант).
6.Какие формулы для его нахождения вам известны? (в презентации)
Теперь мы уже готовы к решению нашей задачи.
Слайд 8
Какое будет первое действие?
Ребята, все согласны?
Класс внимание, может у кого- то есть другое предложение?
Какой способ лучше? Пойдем через к. Вычисления меньше.
Решение задачи. (Каждая строка в решении, новый ученик у доски получает жетон.)
1 человек () 2 + 12 = х
+ 12 = х
Д1 = К 2 – ас = 256 = 16 2
Слайд 9
Ребята, мы решили задачу, но у нас возникла проблема, как это часто бывает в жизни. Куда же нам поместить наших поросят? Ответ на этот вопрос нам дадут квадратные уравнения.
Ведь благодаря им рассчитывается тормозной путь автомобиля, мощность ракеты для выхода на орбиту и даже строятся любые объекты, в том числе свиноферма. Поэтому дружно встали и идем на строительство. Я выдаю вам кирпичи. Ваша задача – передать его сзади стоящему человеку, а потом с конца вернуть таким же образом вперёд. Побеждает та бригада, которая вернет кирпич первой.
Мы пришли на объект. Садитесь.
Слайд 10
Слайд 11
Слайд 12
(Пусть одна сторона х, другая х +6, а так как площадь 135 м 2 имеем уравнение)
Слайд 13
1 ученик х ( х+6) = 135
Класс решает самостоятельно, а у доски 2 ученик сам.
тогда вторая сторона 6+9 = 15
Слайд 14
Итак, наш участок имеет размеры 9 на 15 метров. На нём обживаются поросята, а я предлагаю узнать имя еще одного ученого.
Вопросы по способам решения квадратных уравнений (предложить более рациональный способ решения)
1.Какое уравнение можно решить извлечением квадратных корней? (Д)
2. Какое уравнение решается вынесением общего множителя за скобки? (И)
3. Какое уравнение можно решить, представляя в виде квадрата двучлена? (О)
4. В каком уравнении надо применять общую формулу корней? (Ф)
5. Какое уравнение решается по формуле, используя четный второй коэффициент? (А)
6. Какое уравнение удобно решать по теореме Виета? (Н)
7. Какое уравнение можно решить разложением разности квадратов? (Т)
Итак, мы сегодня открыли свиноферму, заселили туда поросят. И все это благодаря чему? (квадратным уравнениям, которые к нам пришли из древности.)
4. Ребята, прочитайте на историческую справку.
Слайд 19
Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.
Другой индийский ученый Брахмагупта ( VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.
Часть из которых благодаря вам решена на нашем уроке.
5. Подведем итог. Подсчитаем жетоны. У кого 4 жетона, ставьте в рабочем листе оценку «4», у кого 5 жетонов – ставим «5». А теперь обещанный сюрприз: выбираем руководителя фермы? (Вручить медаль)
Наш урок подходит к концу. И в завершение я хочу рассказать вам одну притчу.
Шел мудрец, а навстречу ему три строителя, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями. Он остановил их и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?». Тот с грустью ответил, что целый день возил эти тяжелые камни. У второго спросил: «А что ты делал целый день?» Тот ответил: «Я добросовестно выполнял свою работу» А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «а я принимал участие в строительстве храма»
Мы с вами тоже были строителями.
А теперь оцените свою работу на уроке.
Перед вами рисунки (слайд). Выберите себе тот, который характеризует вашу степень участия на уроке.
Кто работал как первый человек, т.е. решал весь урок эти непонятные, трудные уравнения? Поднимите руку. А почему?
Кто работал как второй человек, т.е. добросовестно решал все уравнения?
Кто работал как третий человек, т.е. приумножал свои знания? – 3 рисунок
(Учащиеся обосновывают свой выбор)
Каждый из вас в начале урока, поставил перед собой цель. Поднимите руки те, кто достиг своей цели. Назовите свою цель. А что ты делал для достижения цели. (Решал задачи, применял формулы.)
Что вам понравилось? Какой момент урока был трудным? Где были затруднения? Почему? Что для себя узнал нового на уроке?
— Вы славно потрудились! Я осталась довольна вами. Спасибо за урок! Всего доброго.
1. Задача: Можно ли в котлован круглой формы диаметром 1,6 м поместить ёмкость для бассейна прямоугольной формы со сторонами равными корням данного уравнения
_
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Творческое задание. Подготовить сообщение о Диофанте.
Приложение №1 РАБОЧИЙ ЛИСТ
Цель: а) Я хочу научиться…______________________________________
б)Я хочу узнать…_____________________________________________
D 1 = k ²- ac ; Х=
Х= S = a • b .
Поросят весёлых стая,
Всласть поевши, развлекалась.
Часть восьмая их в квадрате
Хрюкала и забавлялась.
А двенадцать поросят
В луже тёпленькой лежат.
Ты скажи мне поскорей,
Сколько было всех свиней?
Задание3: Узнать имя еще одного ученого.
Вопросы по способам решения квадратных уравнений (предложить более рациональный способ решения)
1.Какое уравнение можно решить извлечением квадратных корней?
2. Какое уравнение решается вынесением общего множителя за скобки?
3. Какое уравнение можно решить, представляя в виде квадрата двучлена?
4. В каком уравнении надо применять общую формулу корней?
5. Какое уравнение решается по формуле, используя четный второй коэффициент?
6. Какое уравнение удобно решать по теореме Виета?
7. Какое уравнение можно решить разложением разности квадратов?
_ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
К
оличество Моя
«Лист настроения» : отметить, с каким настроением вы пришли на урок и с каким ушли с урока.
Где в жизни применяются квадратные уравнения
Из курса математики предыдущих классов вам уже известно, что такое уравнение, а вот какие же уравнения принято называть квадратными, нам еще предстоит разобраться. Если вы слышите такое словосочетание, как «квадратное уравнение», то ключевым словом в этой терминологии является слово «квадратное».
Ну а теперь давайте более подробно рассмотрим, как должно выглядеть квадратное уравнение. А раз оно «квадратное», значит, такое уравнение непременно должно содержать икс в квадрате, также может быть икс в первой степени и простое число. Если говорить более простым языком, то в таком уравнении должен присутствовать икс, но его степень не должна быть больше двойки.
Но, а если говорить языком математики, то это такое уравнение, которое выглядит так:
где a, b, c — какие-нибудь числа (a ≠ 0), x — неизвестное.
Числа, которые имеются в квадратном уравнении, называются коэффициентами этого квадратного уравнения:
В целом, если рассматривать квадратное уравнение, которое имеет вид:
То можно увидеть, что в данное квадратное уравнение с его левой стороны имеет полный набор членов, где присутствует икс в квадрате с коэффициентом a, также икс в первой степени с коэффициентом b, ну и свободный член c.
Квадратные уравнения со всеми тремя слагаемыми называются полными.
Они имеют такой вид:
Но если, к примеру, взять коэффициент b, который равен 0, то получается, что у нас пропадает икс в первой степени. Или же c равняется нулю, то тогда наше уравнение остается без свободного члена.
Из выше сказанного делаем вывод, что перед нами квадратное уравнение, где нету коэффициента или свободного члена. Такие квадратные уравнения, у которых чего-то не достает, принято называть неполными квадратными уравнениями.
Так, уравнения с нулевым коэффициентом b или c будут неполными квадратными уравнениями следующего вида, например:
Если же в квадратном уравнении старший коэффициент равняется единице, то такое уравнение носит название приведенного квадратного уравнения.
Способы решения квадратных уравнений
Зачем уметь решать квадратные уравнения
На протяжении изучения всего курса алгебры в школе, изучению уравнений отводится больше часов, чем на какие-либо другие темы по математике. А задумывались ли вы, почему так? Просто, умение решать уравнения имеет не только огромное значение для досконального знания математики и естественных законов, но эти знания пригодятся вам и в практических целях.
Ведь в повседневном реальном мире придется сталкиваться с различными проблемами, где никак не обойтись без решения различных видов уравнений. Обучившись их решать и овладев их способами решения, в дальнейшем вы сможете легко найти ответы в любой области науки и техники.
А умение понимать и решать квадратные уравнения, является фундаментом к освоению знаний математических наук.
История возникновения и развития квадратных уравнений
Потребность в умении решать уравнения возникла еще в глубокой древности, при этом уже тогда люди вычисляли уравнения не только 1-й степени, но и 2-й. Это было продиктовано потребностью человека научиться вычислять площади земельных участков, а также делать шаги в сторону развития таких наук, как астрономия, физика, математика и т.д.
Первыми умельцами в разрешении квадратных уравнений можно назвать жителей Вавилона. Они их научились решать еще 4000 лет до н.э. Естественно, что правила решения квадратных уравнений в вавилонских текстах далеко отличались от современных, но по существу они близки. В вавилонских трактатах не было понятия отрицательного числа, да и общие методы их решения кардинально отличались.
Также пользовался решением квадратных уравнений и древнеиндийский математик Баудхаяма.
Немного позднее изучением этого важного математического вопроса с квадратными уравнениями занялись и такие ученые, как Ньютон, Франсуа Виет, Рене Декарт и другие известные математики.
Применение квадратных уравнений в современной жизни
И если древний человек уже тогда применял для решения жизненных вопросов квадратные уравнения, то через столько лет изучения этого вопроса, их значение нисколько не уменьшилось, а даже наоборот увеличилось. Давайте с вами поразмыслим, где же теперь нашли применение квадратные уравнения, если не брать во внимание их изучение в школах и различных ВУЗах.
Изучая тему квадратных уравнений, мы как-то не задумывались о том, что квадратные уравнения имеют широкое практическое применение.
Без квадратных уравнений не обойтись при различных расчетах. Их можно использовать при строительстве, чтобы выяснить траекторию движения планет, в самолетостроении. Важны арифметические расчеты и в спорте.
