Имеется три пакета акций общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает
Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. руб. и не больше 60 тыс. руб. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
Введём обозначения так, как показано в таблице (выделено цветом), и затем заполним оставшиеся ячейки по данным из условия:
Заметим, что цена одной акции из второго пакета равна 
тыс. руб., а цена одной акции из третьего пакета равна 
тыс. руб., причем из условия следует, что 
Требуется определить наибольшее и наименьшее значение величины 
выраженное в процентах. Из условия имеем:
Отрезки [a; b] и [c; d] пересекаются тогда и только тогда, когда а ≤ d и с ≤ b одновременно, поэтому полученная система имеет решения тогда и только тогда, когда:
Решим эту систему на интервале (0; 4):
т. е. искомая доля меняется от 12,5% до 15%.
Заметим, что при найденных значениях l существует такие значения цены акций первого пакета х, что цены акций второго и третьего пакетов подчиняются указанным в условии ограничениям. При этом количество акций в первом пакете может быть любым натуральным числом: ни условие, ни решение от этого количества не зависят. С другой стороны, для решения задачи существенно, что цены всех акций в каждом пакете одинаковы. Об этом авторам следовало написать в условии более отчетливо.
Приведём решение И. В. Фельдман.
Будем считать, что общая стоимость акций фиксирована. Давайте для начала введем переменные:
Тогда стоимость первого пакета акций равна nx, второго my, третьего (n + m)z.
Теперь внимательно читаем задачу:
1. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, следовательно, 4nx = my.
2. Суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета, следовательно,
3. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. р. до 20 тыс. р., следовательно, 16 ≤ y − x ≤ 20.
4. Цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. р. и не больше 60 тыс. р., следовательно, 42 ≤ z ≤ 60.
Получили систему условий:
В первую очередь разберемся с неравенствами. По условию задачи нам нужно найти, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
Этот процент равен
Сначала найдем, при каких условиях этот процент будет наименьшим. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Поэтому чем меньше акций в третьем пакете, тем меньше суммарное количество акций в первых двух пакетах. Акций в третьем пакете тем меньше, чем больше их стоимость. Следовательно, чтобы получить наименьший процент акций из первого пакета, мы должны взять наибольшую стоимость акций из третьего, то есть берем z = 60.
Далее. Чем дешевле акции из второго пакета, тем их больше, и тем меньше остается акций в первом пакете (суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете). Следовательно, разность между стоимостью акции из первого пакета и акции из второго пакета должна быть наименьшей. Поэтому берем y − x = 16.
Получили систему уравнений:
В этой систем 4 уравнения и 5 неизвестных, поэтому мы не можем найти значение каждой неизвестной величины. Но мы можем найти их соотношение. Для этого вернемся вернемся к вопросу задачи. Нам нужно найти значение выражения 
Рассмотрим дробь 
Обратная ей дробь равна 
То есть если мы найдем отношение 
то задача будет решена. Из первого, второго и четвертого уравнений системы получим 
Из третьего уравнения выразим y через x, получим 
Подставим это выражение для y в первое уравнение и выразим x через n и m:
Подставим это выражение для x в уравнение (2). Получим: 
Разделим обе части равенства на 20 и умножим на 
Получим: 
Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим: 
Разделим обе части равенства на 
и решим квадратное уравнение относительно 
:
Получим 2 значения 
и 
Так как n и m — натуральные числа, нам подходит только 
То есть 
Подставим это соотношение в выражение (1):
Итак, наименьший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете, равен 12,5%. Аналогичным образом найдем наибольший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете. Получим систему уравнений:
Из первого, второго и четвертого уравнений получим 
Из третьего уравнения выразим y через x, получим 
Подставим это выражение для y в первое уравнение и выразим x через n и m. Получим: 
Подставим это выражение для x в уравнение (3). Получим: 
Разделим обе части равенства на 2 и умножим на 
. Получим: 
Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим: 
Разделим обе части равенства на умножим на −1 и решим квадратное уравнение относительно 
Получим 2 значения: 
и 
Так как n и m — натуральные числа, нам подходит только 
То есть 
Подставим это соотношение в выражение (1):
Итак, наибольший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете, равен 15%.
Имеется три пакета акций общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает
Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. руб. и не больше 60 тыс. руб. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
Введём обозначения так, как показано в таблице (выделено цветом), и затем заполним оставшиеся ячейки по данным из условия:
Заметим, что цена одной акции из второго пакета равна тыс. руб., а цена одной акции из третьего пакета равна тыс. руб., причем из условия следует, что Требуется определить наибольшее и наименьшее значение величины выраженное в процентах. Из условия имеем:
Отрезки [a; b] и [c; d] пересекаются тогда и только тогда, когда а ≤ d и с ≤ b одновременно, поэтому полученная система имеет решения тогда и только тогда, когда:
Решим эту систему на интервале (0; 4):
т. е. искомая доля меняется от 12,5% до 15%.
Заметим, что при найденных значениях l существует такие значения цены акций первого пакета х, что цены акций второго и третьего пакетов подчиняются указанным в условии ограничениям. При этом количество акций в первом пакете может быть любым натуральным числом: ни условие, ни решение от этого количества не зависят. С другой стороны, для решения задачи существенно, что цены всех акций в каждом пакете одинаковы. Об этом авторам следовало написать в условии более отчетливо.
Приведём решение И. В. Фельдман.
Будем считать, что общая стоимость акций фиксирована. Давайте для начала введем переменные:
Тогда стоимость первого пакета акций равна nx, второго my, третьего (n + m)z.
Теперь внимательно читаем задачу:
1. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, следовательно, 4nx = my.
2. Суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета, следовательно,
3. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. р. до 20 тыс. р., следовательно, 16 ≤ y − x ≤ 20.
4. Цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. р. и не больше 60 тыс. р., следовательно, 42 ≤ z ≤ 60.
Получили систему условий:
В первую очередь разберемся с неравенствами. По условию задачи нам нужно найти, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
Этот процент равен
Сначала найдем, при каких условиях этот процент будет наименьшим. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Поэтому чем меньше акций в третьем пакете, тем меньше суммарное количество акций в первых двух пакетах. Акций в третьем пакете тем меньше, чем больше их стоимость. Следовательно, чтобы получить наименьший процент акций из первого пакета, мы должны взять наибольшую стоимость акций из третьего, то есть берем z = 60.
Далее. Чем дешевле акции из второго пакета, тем их больше, и тем меньше остается акций в первом пакете (суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете). Следовательно, разность между стоимостью акции из первого пакета и акции из второго пакета должна быть наименьшей. Поэтому берем y − x = 16.
Получили систему уравнений:
В этой систем 4 уравнения и 5 неизвестных, поэтому мы не можем найти значение каждой неизвестной величины. Но мы можем найти их соотношение. Для этого вернемся вернемся к вопросу задачи. Нам нужно найти значение выражения Рассмотрим дробь Обратная ей дробь равна То есть если мы найдем отношение то задача будет решена. Из первого, второго и четвертого уравнений системы получим Из третьего уравнения выразим y через x, получим Подставим это выражение для y в первое уравнение и выразим x через n и m:
Подставим это выражение для x в уравнение (2). Получим:
Разделим обе части равенства на 20 и умножим на Получим: Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим: Разделим обе части равенства на и решим квадратное уравнение относительно :
Получим 2 значения и
Так как n и m — натуральные числа, нам подходит только То есть Подставим это соотношение в выражение (1):
Итак, наименьший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете, равен 12,5%. Аналогичным образом найдем наибольший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете. Получим систему уравнений:
Из первого, второго и четвертого уравнений получим Из третьего уравнения выразим y через x, получим Подставим это выражение для y в первое уравнение и выразим x через n и m. Получим: Подставим это выражение для x в уравнение (3). Получим: Разделим обе части равенства на 2 и умножим на . Получим: Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим: Разделим обе части равенства на умножим на −1 и решим квадратное уравнение относительно
Получим 2 значения: и Так как n и m — натуральные числа, нам подходит только То есть Подставим это соотношение в выражение (1):
Итак, наибольший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете, равен 15%.
