Имеются три пакета акций

Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. руб. и не больше 60 тыс. руб. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.

Введём обозначения так, как показано в таблице (выделено цветом), и затем заполним оставшиеся ячейки по данным из условия:

Цена одной акции, тыс. руб.

Количество акций в пакете, шт

Цена пакета, тыс. руб.

Заметим, что цена одной акции из второго пакета равна тыс. руб., а цена одной акции из третьего пакета равна тыс. руб., причем из условия следует, что Требуется определить наибольшее и наименьшее значение величины выраженное в процентах. Из условия имеем:

Отрезки [a; b] и [c; d] пересекаются тогда и только тогда, когда а ≤ d и с ≤ b одновременно, поэтому полученная система имеет решения тогда и только тогда, когда:

Решим эту систему на интервале (0; 4):

т. е. искомая доля меняется от 12,5% до 15%.

Заметим, что при найденных значениях l существует такие значения цены акций первого пакета х, что цены акций второго и третьего пакетов подчиняются указанным в условии ограничениям. При этом количество акций в первом пакете может быть любым натуральным числом: ни условие, ни решение от этого количества не зависят. С другой стороны, для решения задачи существенно, что цены всех акций в каждом пакете одинаковы. Об этом авторам следовало написать в условии более отчетливо.

Приведём решение И. В. Фельдман.

Будем считать, что общая стоимость акций фиксирована. Давайте для начала введем переменные:

Тогда стоимость первого пакета акций равна nx, второго my, третьего (n + m)z.

Теперь внимательно читаем задачу:

1. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, следовательно, 4nx = my.

2. Суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета, следовательно,

3. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. р. до 20 тыс. р., следовательно, 16 ≤ y − x ≤ 20.

4. Цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. р. и не больше 60 тыс. р., следовательно, 42 ≤ z ≤ 60.

Получили систему условий:

В первую очередь разберемся с неравенствами. По условию задачи нам нужно найти, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.

Этот процент равен

Сначала найдем, при каких условиях этот процент будет наименьшим. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Поэтому чем меньше акций в третьем пакете, тем меньше суммарное количество акций в первых двух пакетах. Акций в третьем пакете тем меньше, чем больше их стоимость. Следовательно, чтобы получить наименьший процент акций из первого пакета, мы должны взять наибольшую стоимость акций из третьего, то есть берем z = 60.

Далее. Чем дешевле акции из второго пакета, тем их больше, и тем меньше остается акций в первом пакете (суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете). Следовательно, разность между стоимостью акции из первого пакета и акции из второго пакета должна быть наименьшей. Поэтому берем y − x = 16.

Получили систему уравнений:

В этой систем 4 уравнения и 5 неизвестных, поэтому мы не можем найти значение каждой неизвестной величины. Но мы можем найти их соотношение. Для этого вернемся вернемся к вопросу задачи. Нам нужно найти значение выражения Рассмотрим дробь Обратная ей дробь равна То есть если мы найдем отношение то задача будет решена. Из первого, второго и четвертого уравнений системы получим Из третьего уравнения выразим y через x, получим Подставим это выражение для y в первое уравнение и выразим x через n и m:

Подставим это выражение для x в уравнение (2). Получим:

Разделим обе части равенства на 20 и умножим на Получим: Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим: Разделим обе части равенства на и решим квадратное уравнение относительно :

Получим 2 значения и

Так как n и m — натуральные числа, нам подходит только То есть Подставим это соотношение в выражение (1):

Итак, наименьший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете, равен 12,5%. Аналогичным образом найдем наибольший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете. Получим систему уравнений:

Из первого, второго и четвертого уравнений получим Из третьего уравнения выразим y через x, получим Подставим это выражение для y в первое уравнение и выразим x через n и m. Получим: Подставим это выражение для x в уравнение (3). Получим: Разделим обе части равенства на 2 и умножим на . Получим: Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим: Разделим обе части равенства на умножим на −1 и решим квадратное уравнение относительно

Получим 2 значения: и Так как n и m — натуральные числа, нам подходит только То есть Подставим это соотношение в выражение (1):

Итак, наибольший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете, равен 15%.

Источник

Дискретная случайная величина

Закон распределения случайной дискретной величины связывает между собой значения случайной величины и вероятности принятия случайной величиной ее значений. Он может быть записан в форме таблицы:

Xi	X0	X1	X2	…	Xk	ИТОГО
Pi=P(X=Xi)	P0	P1	P2	…	Pk

Особое место среди случайных дискретных величин занимают величины с биномиальным законом распределения:

— число наступлений события в независимых повторных испытаниях,

— частота наступлений события в независимых повторных испытаниях.

Характеристики дискретной случайной величины:

— математическое ожидание.

— дисперсия.

— среднее квадратическое отклонение.

При расчетах дисперсии используют свойство: D(X) = М(Х 2 )-М 2 (Х).

Для биномиально распределенных случайных величин можно применять известные формулы расчета характеристик:

Функция распределения дискретной случайной величины:

Функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянной, она имеет разрывы в точках с координатами, равными значениям случайной величины.

X – случайная величина, а именно, число доходных пакетов акций у господина. Рассмотрим событие хm=m, состоящее в том, что событие А наступит в n независимых испытаниях m раз. Для определения вероятности данного события следует применять формулу Бернулли. Случайная величина имеет биномиальный закон распределения:

хm=m




итого

Характеристики биномиально распределенной случайной величины можно найти, используя известные формулы:

Дисперсия – D(X=m)=3*0,6*0,4 = 0,72.

Событие В, состоящее в том, что у господина не менее двух доходных пакетов акций, т.е. или два или три, имеет вероятность:

Р(В) = Р(Х ³ 2) = P(X = 2)+Р(Х = 3) = 0,432 +0,216 = 0,648.

Пример 3.2. В населенном пункте три рынка. Вероятность того, что на рынке есть необходимый для господина N товар, равна 0,6. Он пытается купить этот товар. Если на очередном рынке отсутствует данный товар, господин отправляется за ним на следующий рынок. Поиски прекращаются либо с приобретением товара, либо после того как посещены все рынки. Составить закон распределения числа посещенных рынков. Построить функцию распределения найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа посещенных рынков.

хi	p_i=Р(Х = х_i)	XiPi	Xi2Pi
p_l=P(X=l) = P(A_l) = 0,6	0,6	0,6
p₂ = Р(Х = 2)=Р( 1)Р(А₂)=0,40,6 = 0,24	0,48	0,96
p₃ = Р(Х = 3)=Р( 1)Р( 2)=0,40,4 = 0,16	0,48	1,44
å	1.0	1,56	3,0

По определению функция распределения случайной величины: F(x)=P(X

0;	x£1
F(X)=	p1=0,6;	1 3

Пример 3.3.В урне 10 шаров: 4 белых, остальные – черные. Найти закон распределения случайной величины Х – числа белых шаров, если из урны один за одним не глядя вынули 3 шара. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Найти вероятность того, что число вынутых белых шаров окажется больше математического ожидания.

Решение. Х – число белых шаров из 3 взятых. Закон распределения и рабочие расчеты по характеристикам случайной величины:

хi	p_i=Р(Х = х_i)	XiPi	Xi2Pi

	0,5	0,5
	0,6	1,2
	0,1	0,3
å	1.0	1,2	2,0

Вероятность того, что число вынутых белых шаров окажется больше математического ожидания:

Закон распределения дискретной случайной величины Х в данной задаче носит название гипергеометрический закон распределения.

Источник

Имеются три пакета акций

Три свечи имеют одинаковую длину, но разную толщину. Третья свеча была зажжена на час раньше двух других, зажженных одновременно. В некоторый момент горения первая свеча и третья свечи стали одинаковой длины, а через 2 часа после этого одинаковой длины стали третья и вторая свечи. За сколько часов сгорает третья свеча, если вторая сгорает за 6 ч, а первая — за 4 ч?

Пусть третья свеча сгорает за х ч. Тогда скорость сгорания третьей свечи (1/ч), первой свечи — (1/ч), второй свечи — (1/ч).

Пусть до того, пока третья свеча поравнялась по длине со второй свечой, прошло t ч. К этому моменту сгорела ед. длины третьей свечи, ед. длины второй свечи. По условию задачи они равны. Решим уравнение относительно t.

Но за 2 часа до этого момента поравнялись по длине третья и первая свечи. К этому моменту первая свеча горела (t − 2) ч, а третья — (t − 1) ч, сгорела ед. длины первой свечи, ед. длины третьей свечи. Эти значения тоже равны. Решим уравнение относительно t.

Приравняем правые части уравнений (*) и (**) и решим полученное уравнение относительно х.

Корень, равный 3, не подходит по смыслу задачи: он не может быть меньше 6.

Найдем, через сколько часов после того, как была зажжена первая свеча, третья свеча по длине поравнялась с первой. Эта величина будет равна отношению разности длин сгоревшей за это время третьей и первой свеч к разности их скоростей сгорания, т. е.

Аналогично найдем, через сколько часов после того как была зажжена вторая свеча, третья свеча по длине поравнялась со второй.

По условию задачи разность составляет 2 ч. Решим соответствующее уравнение.

Но корень, равный 3, не подходит по смыслу задачи: он не может быть меньше 6.

Введем обозначения: — скорость сгорания третьей свечи, — скорость сгорания первой свечи, — скорость сгорания второй свечи, t — время, которое понадобилось второй свече поравняться по длине с третьей.

Длину свеч примем за 1. Тогда При этом

Скорости сгорания свеч находятся в обратной пропорциональной зависимости от необходимой для этого времени. Поскольку за время t после зажигания первой свечи сгорели одинаковые длины первой и третьей свеч, то

Аналогично со следующим условием задачи:

Разделим почленно равенство (*) на равенство (**): То есть

У последнего уравнения единственный положительный корень, и он равен 1.

Итак, в соответствии с равенством (*):

Необходимое время для полного сгорания третьей свечи равно

В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 26 человек. Их нужно распределить на строительство двух частных домов, находящихся в разных городах. Если на строительстве первого дома работает t человек, то их суточная зарплата составляет д. е. Если на строительстве второго дома работает t человек, то их суточная зарплата составляет д. е. Дополнительные суточные накладные расходы (транспорт, питание и т. п.) обходятся в 4 д. е. в расчёте на одного рабочего при строительстве первого дома и в 3 д. е. при строительстве второго дома. Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы все выплаты на их суточное содержание (т. е. суточная зарплата и суточные накладные расходы) оказались наименьшими? Сколько д. е. в сумме при таком распределении составят все суточные затраты (на зарплату и накладные расходы)?

Если на строительство первого дома отправить x рабочих, а на строительство второго то суммарные затраты составят

Это квадратный трехчлен, принимающий наименьшее значение при поэтому наименьшее значение среди целых точек будет при или Для получаем

денежных единиц. Для получаем

денежные единицы — это значение наименьшее.

Ответ: 15 на первый дом и 11 на второй, 1252 денежных единицы.

Вместо того, чтобы вычислять значения квадратичной функции в точках 14 и 15, можно было бы заметить, что: а) точка 15 ближе к чем точка 14, б) квадратный трехчлен возрастает на луче в) значения квадратного трехчлена в точках, симметричных относительно точки равны. Из этих трех фактов следует, что значение квадратного трехчлена в точке 15 меньше, чем его значение в точке 14.

В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 28 человек. Их нужно распределить на строительство двух частных домов, находящихся в разных городах. Если на строительстве первого дома работает t человек, то их суточная зарплата составляет 5t 2 д. е. Если на строительстве второго дома работает t человек, то их суточная зарплата составляет 3t 2 д. е. Дополнительные суточные накладные расходы (транспорт, питание и т. п.) обходятся в 4 д. е. в расчёте на одного рабочего при строительстве первого дома и в 3 д. е. при строительстве второго дома. Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы все выплаты на их суточное содержание (т. е. суточная зарплата и суточные накладные расходы) оказались наименьшими? Сколько д. е. в сумме при таком распределении составят все суточные затраты (на зарплату и накладные расходы)?

Если на строительство первого дома отправить x рабочих, а на строительство второго то суммарные затраты по условию составят

денежных единиц, для получаем

денежный единиц. Меньшее значение достигается при Поэтому следует направить 10 рабочих на строительство первого дома, 18 — на строительство второго; в этом случае общие затраты составят 1566 денежных единиц.

Ответ: 10 рабочих на первый дом, 18 на второй, 1566 денежных единиц.

Аналоги к заданию № 527572: 562495 Все

В 8-литровой колбе находится смесь азота и кислорода, содержащая 32% кислорода. Из колбы выпустили некоторое количество смеси и добавили столько же азота, затем снова выпустили такое же, как и в первый раз, количество новой смеси и добавили столько же азота. В итоге процентное содержание кислорода в смеси составило 12,5%. Сколько литров смеси выпускали каждый раз?

Первоначально в колбе было 2,56 л. кислорода. (8 · 0,32 = 2,56).

Предположим, что выпускали по х л. смеси. Тогда:

После первой процедуры в смеси осталось л кислорода, что составляет

Вновь выпустили x л. смеси. В выпущенной смеси содержалось л. кислорода. В колбе осталось:

кислорода. А этот объем составляет 12,5% всей смеси, имеющей объем 8 л.

Значение не подходит по смыслу задачи.

В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль: в первом банке — 60% к текущей сумме на счете, во втором — 40% к текущей сумме на счете. Вкладчик в начале года часть имеющихся у него денег положил в первый банк, а остальные деньги – во второй банк, с таким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих счетах увеличилось на 150%. Сколько процентов денег вкладчик положил в первый банк?

Пусть вкладчик в первый банк положил х рублей, во второй — у рублей.

За 2 года хранения денег в первом банке его вклад стал рублей, а во втором банке — рублей. В обоих банках — рублей. Составим уравнение:

Решим его относительно х:

Найдем нужное процентное отношение:

(%).

Из условия задачи известно, что общая сумма вкладов, положенных в разные банки, увеличилась в 2,5 раза. Но сумма, вложенная в первый банк, увеличилась в раза. Разность свидетельствует о том, что в 0,06 раз увеличилась не сумма, положенная в первый банк, а стало быть, — сумма, вложенная во второй банк.

Аналогично, сумма, вложенная во второй банк, увеличилась в раза Эта разность есть результат увеличения суммы, вложенной в первый банк.

Таким образом, суммы, вложенные в первый и второй банки находятся в отношении соответственно.

Следовательно, в первый банк вкладчик положил 90% имеющихся денег.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель − целое число от –2 до 2.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

Если по всем четырем показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число A, при котором это условие будет выполняться.

Читайте также: логотип бани и сауны

Обозначим совпадающую оценку по разным показателям Поскольку все показатели равны друг другу, все они равны Подставим значения в формулу, учитывая, что рейтинг равен :

Цена одной акции, тыс. руб.

Количество акций в пакете, шт

Цена пакета, тыс. руб.

Решим эту систему на интервале (0; 4):

т. е. искомая доля меняется от 12,5% до 15%.

Приведём решение И. В. Фельдман.

Будем считать, что общая стоимость акций фиксирована. Давайте для начала введем переменные:

Тогда стоимость первого пакета акций равна nx, второго my, третьего (n + m)z.

Теперь внимательно читаем задачу:

1. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, следовательно, 4nx = my.

2. Суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета, следовательно,

4. Цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. р. и не больше 60 тыс. р., следовательно, 42 ≤ z ≤ 60.

Получили систему условий:

Этот процент равен

Получили систему уравнений:

Подставим это выражение для x в уравнение (2). Получим:

Получим 2 значения и

Так как n и m — натуральные числа, нам подходит только То есть Подставим это соотношение в выражение (1):

Итак, наибольший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете, равен 15%.

Источник