5.3. Движение заряда в однородном магнитном поле
Если начальная скорость заряженной частицы v перпендикулярна магнитному полю В, то в этом случае частица под действием силы Лоренца будет двигаться по окружности постоянного радиуса R (рис. 5.13)
Рис. 5.13. Движение отрицательно заряженной частицы в однородном магнитном поле
Сила Лоренца FL, направленная по радиусу к центру окружности, вызывает радиальное ускорение. По второму закону Ньютона имеем
следовательно, можем записать уравнение
из которого легко получить выражение для угловой скорости частицы
Если q, m и B — постоянные величины, то угловая скорость, а следовательно, и период
тоже являются постоянными величинами, не зависящими от энергии частицы. От скорости движения частицы зависит только радиус орбиты
Сила Лоренца создает только нормальное ускорение и, соответственно, направлена к центру окружности. Следовательно, направление вращения положительно заряженной частицы таково, что вращающийся в том же направлении винт будет двигаться против направления поля. Отрицательно заряженная частица вращается в противоположном направлении (см. рис. 5.14, 5.15).
Рис. 5.14. Движение положительно и отрицательно заряженных частиц в однородном магнитном поле.
Направление магнитного поля указано точками
Если начальная скорость частицы параллельна вектору магнитной индукции, то сила Лоренца равна нулю. Частица будет продолжать двигаться в том же направлении прямолинейно и равномерно.
Наконец, в общем случае можно представить себе, что частица влетает в область однородного магнитного поля со скоростью v, составляющей угол q с направлением магнитного поля. Эту скорость можно разложить на компоненту две составляющих, одна из которых
направлена вдоль поля, а вторая
перпендикулярна полю. Соответственно, движение частицы является суммой двух движений: равномерного вдоль поля со скоростью 
и вращения по окружности с угловой скоростью 
. Траектория частицы, таким образом, является спиралью с радиусом R и шагом h (рис. 5.15):
Рис. 5.15. Движение заряженной частицы по спирали в однородном магнитном поле
Пример. В однородном магнитном поле с индукцией 2 Тл движется протон. Траектория его движения представляет собой винтовую линию с радиусом 10 см и шагом 60 см. Определить скорость и кинетическую энергию протона. Какую ускоряющую разность потенциалов U прошел протон перед тем, как влететь в магнитное поле?
Решение. Из уравнений (5.11) находим угол между скоростью протона и полем
Кинетическая энергия протона будет
Мы могли использовать нерелятивистскую формулу для энергии, так как скорость протона много меньше скорости света.
Если протон ускорялся электрическим полем, то при прохождении разности потенциалов U он приобрел энергию eU. Отсюда находим разность потенциалов
Джоуль — слишком большая энергия в мире элементарных частиц. Здесь используют внесистемную единицу — электронвольт (эВ).
Электрон-вольт (эВ) — это внесистемная единица энергии, численно равная энергии, которую приобретает электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 1 В
Она удобна тем, что любая другая частица с зарядом по модулю равным заряду электрона, ускоренная разностью потенциалов в 3,66 МэВ, как в нашем примере, имеет кинетическую энергию 3,66 МэВ (мегаэлектронвольт).
Электрон и протон в магнитном поле
По Ацюковскому: «Магнитное поле само по себе никак не может повлиять на ориентацию электрона вследствие взаимного уравновешивания всех сил, воздействующих на электрон со стороны поля, причем независимо от структуры самого магнитного поля и преобладания в нем кольцевой или поступательной составляющей движения эфира.»
«При отсутствии магнитного поля, т.е. при отсутствии внешних потоков эфира, электроны в проводнике находятся в тепловом движении, среднее положение их главных осей распределено в пространстве равномерно. Положение не меняется, если через проводник проникают потоки эфира, поскольку в каком бы положении ни находился электрон, все моменты давления вокруг него будут уравновешены.
Внешние потоки эфира – внешнее магнитное поле – на каждом электроне создают давление торможения на той стороне электрона, которая обращена к потоку. В соответствии с законами газовой механики на этой стороне образуется уплотнение газа, однако избыток этого давления, создающий момент силы, пытающийся повернуть электрон, уравновешивается таким же моментом силы давления на другом участке того же электрона. Если же проводник начинает двигаться относительно потоков эфира, то симметрия моментов нарушается.» [3, с. 94, 101] – Не совсем верно – на ориентацию всё же влияет. Из построения следует, что электрон (как и протон) будет «поляризоваться» в поле, выстраиваясь своим магнитным моментом по полю (чтобы давление было минимально). Он будет «дуть» эфиром из дырки в том же направлении, что и вектор магнитной индукции во внешнем поле.
На рисунке изображёна заряженная частица (протон) в сечении: один полубублик и второй полубулик. Кольцевое вращение лежит в плоскости линий магнитного поля. Как видно, если одна половинка притягивается полем, то вторая – отталкивается. Взаимно перпендикулярные потоки не взаимодействуют.
В области 1 имеет место притяжение вихрей за счет потоков эфира в плоскости рисунка (тороидальное вращение протона взаимодействует с вращением силовых линий поля: розовые и синие линии), но отталкивания за счет вращения газа (кольцевое вращение протона взаимодействует с поступательным движением силовых линий поля: Fк фисташковые и чёрные линии), так как направление сопрягаемых потоков газа одинаково – в строну, перпендикулярную плоскости рисунка. В области 2 – все наоборот – отталкивание вихрей происходит за счет вращения потоков эфира в плоскости рисунка (розовые и синие линии), а притяжение – за счет противоположного направления движений газа в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка (фисташковые и чёрные линии). Если в соответствии с принципом Максвелла энергии по степеням свободы распределяются равномерно, то
и для случая существования электрона (протона) в свободном эфире можно утверждать, что линейные скорости кольцевого и тороидального движений эфира на поверхности электрона равны и, следовательно, частицы эфира в теле электрона (протона) движутся по винтовой линии с наклоном винта около 45°.
Уберём с рисунка уравновешенные силы и увидим, что кольцо должно развернуться:
Трёхмерное изображение действующих сил будет выглядеть так:
На рисунке все силы теперь уравновешены и действуют на протон «всасывающе». Поэтому, если электрон попадает в область, где существуют какие-либо потоки эфира, то, поскольку градиент скоростей увеличивается, давление на поверхности протона падает, и вихревое кольцо увеличивается в размерах.
Положение равновесия нарушается, если внешней силой, например, электрическим полем, протону (электрону) придано поступательное движение со скоростью uдвиж. Это движение должно проходить не параллельно магнитным линиям, в идеале – перпендикулярно им. В этом случае к скорости потока эфира в электрическом поле uк по поверхности кольца добавляется скорость поступательного движения.
Увеличение скорости вызовет снижение давления и всасывающую силу на одной стороне и подталкивающую силу на второй стороне электрона.
Сила, действующая на эквивалентную поверхность электрона (протона) Sэкв, определится как
что соответствует закону Лоренца для движущегося заряда в магнитном поле. При этом, как видно из рисунка, направление силы перпендикулярно направлению движения частицы. (Можно сравнить этот механизм с эффектом Магнуса, когда вращающийся цилиндр, будучи приведён в поступательное движение, взлетает.) Теперь можно определить, как закручены потоки эфира в электроне и протоне:
Как и ожидалось, протон имеет правовинтовое вращение эфира на своей поверхности.
Опыт. Диск Фарадея.
Из выше описанного следует, что нельзя с помощью постоянного магнитного поля создать в проводе постоянный ток. Но если есть ток, т.е. смещение электронов (uдвиж), тут же появляется постоянное магнитное поле. Есть простой эксперимент, о котором знал еще Фарадей. Над кольцевым магнитом, намагниченным вдоль его центральной оси, установлен медный диск. И тот и другой могут вращаться независимо друг от друга на общей оси. К диску подведены контакты один к оси, второй к его ребру. Когда диск вращается, а магнит неподвижен, на диске появляется э.д.с. Если диск оставить неподвижным, а вращать магнит – никакой э.д.с нет вообще. Чистый ноль! Имеет место уравновешивание давлений, действующих на неподвижный электрон в магнитном поле. А что будет, если мы склеим диск и магнит и будем их вращать вместе? Э.д.с есть, причем ровно такая же, как если бы диск вращался, а магнит оставался неподвижным! Положение существенно меняется, если внешним электрическим полем электрону придано поступательное движение uдвиж. В этом случае к скорости потока эфира в электрическом поле по поверхности кольца добавляется скорость поступательного движения электрона, и возникает разность давлений на электрон со стороны силовых линий магнитного поля, что и соответствует закону Лоренца для движущегося в магнитном поле электрона.
11 класс
§ 19. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Сила Лоренца
Сила Лоренца.
Значительный интерес представляет движение заряженных частиц в области пространства, где одновременно имеются электрическое и магнитное поля. Для этого случая Лоренц получил выражение для силы, которую в честь него называют силой Лоренца. Она представляет собой сумму сил, действующих на заряженную частицу, которая движется в электрическом и магнитном полях.
Её модуль можно найти с помощью закона Ампера. Предположим, что проводник с током находится в однородном магнитном поле. Вдоль проводника движутся заряженные частицы. Рассмотрим отрезок проводника длиной Δl и площадью поперечного сечения S (рис. 3.38).
На него со стороны магнитного поля действует сила Ампера. В § 1 «Условия существования электрического тока. Электрический ток в проводниках» была выведена формула, определяющая силу тока в проводнике:
Подставив это выражение в формулу для модуля силы Ампера FA = BIΔlsin α, получим
где N = nSΔl — число заряженных частиц в рассматриваемом объёме SΔl. Магнитная составляющая силы Лоренца равна по модулю
Магнитная составляющая силы Лоренца всегда перпендикулярна плоскости, в которой располагаются вектор скорости заряженной частицы и вектор индукции магнитного поля.
В силу того что данная сила перпендикулярна скорости частицы, она не совершает работы.
Для определения направления магнитной составляющей силы Лоренца используют правило левой руки.
Если левую руку расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а четыре вытянутых пальца показывали направление скорости движения положительно заряженной частицы, то отогнутый (в плоскости ладони) на 90° большой палец покажет направление действующей на заряженную частицу магнитной составляющей силы Лоренца.
Если в магнитном поле движутся отрицательно заряженные частицы, то пальцы левой руки следует располагать противоположно направлению вектора скорости. Для иллюстрации применения правила левой руки приведём рисунок 3.39.
На нём штриховыми линиями указаны траектории движения зарядов (на рис. 3.39, а — положительного заряда, на рис. 3.39, б — отрицательного заряда).
Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле.
Рассмотрим наиболее простой случай движения заряженной частицы в магнитном поле — это движение в однородном магнитном поле с индукцией, перпендикулярной начальной скорости частицы (рис. 3.40).
Так как магнитное поле не изменяет модуля скорости заряженной частицы, то остаётся неизменным и модуль магнитной составляющей силы Лоренца. Поскольку эта сила перпендикулярна скорости, то частица движется с центростремительным ускорением. Неизменность по модулю центростремительного ускорения частицы, движущейся с постоянной по модулю скоростью, означает, что радиус кривизны R траектории частицы постоянен. Частица движется равномерно по окружности радиусом R. Согласно второму закону Ньютона,
Следовательно, измерив R при известных υ и В, мы можем определить удельный заряд различных частиц.
Масс-спектрограф.
1 Масс-спектрограф был впервые сконструирован в 1919 г. учеником Дж. Дж. Томсона — Франсисом Астоном (1877—1945). C помощью этого прибора он произвёл точные измерения масс и дефектов масс ряда изотопов.
На рисунке 3.41, а изображена схема простейшего масс-спектрографа, а на рисунке 3.41, б — внешний вид современного прибора. Вакуумная камера масс-спектрографа помещена в магнитное поле (вектор магнитной индукции перпендикулярен рисунку). Ускоренные электрическим полем заряженные частицы (электроны или ионы), описав дугу, попадают на фотопластинку, где оставляют след, позволяющий с большой точностью измерить радиус траектории R. По этому радиусу можно определить удельный заряд иона и, следовательно, его массу.
Циклотрон.
Используя формулу для радиуса траектории, найдём время прохождения заряженной частицей полуокружности:
т. е. Δt зависит только от свойств частицы и индукции магнитного поля.
Этот факт был использован американским физиком Эрнестом Лоуренсом (1901 — 1958), который в 1931 г. создал циклотрон. Это устройство позволяет ускорять заряженные частицы сравнительно небольшим электрическим полем в течение ряда циклов. Рассмотрим устройство циклотрона (рис. 3.42).
Два электрода специальной формы — дуанты находятся в камере, где поддерживается вакуум (рис. 3.43).
Дуанты помещают между полюсами сильного магнита, и к ним подводится переменная разность потенциалов. В центре камеры между дуантами располагают источник заряженных частиц. В тот момент, когда между дуантами существует высокая разность потенциалов, электрическое поле в промежутке между ними ускоряет заряженные частицы.
Ускоренные частицы влетают во внутреннюю часть дуанта, где электрическое поле практически отсутствует. Двигаясь под действием магнитной составляющей силы Лоренца по окружности, заряженные частицы через половину оборота снова появляются в щели между дуантами.
Те из частиц, которые двигались с подходящей скоростью, пройдут через щель как раз в тот момент (через половину периода изменения приложенного к дуантам напряжения), когда там электрическое поле успеет сменить своё направление на противоположное. Такие частицы снова ускоряются, описывают внутри другого дуанта полуокружность ещё большего радиуса и снова в необходимый момент подходят к ускоряющему промежутку (время прохождения частицами полуокружности остаётся неизменным, так как оно не зависит от скорости частицы) и т. д. Остальные частицы ускоряются незначительно или совсем не ускоряются.
Циклотроны и другие более мощные ускорители заряженных частиц (например, фазотроны, синхротроны, синхрофазотроны) находят широкое применение в ядерной физике и физике элементарных частиц. Изучая столкновения ускоренных частиц с частицами мишени, физики получают возможность исследовать строение микрочастиц, действующие между ними силы, взаимные превращения элементарных частиц.
Магнитный щит земли.
Магнитное поле Земли оказывает существенное влияние на поток заряженных частиц из космоса (космические лучи). Оно образует третий «защитный пояс» наряду с атмосферой и ионосферой, защищающий живые организмы на Земле от губительного действия космических лучей.
На большой высоте магнитное поле Земли невелико, но захватывает громадные области пространства. Действуя на заряженную частицу длительное время, оно существенно изменяет её траекторию. Вместо прямой линии получается спираль, навивающаяся на линии индукции магнитного поля (рис. 3.44).
На летящую вдоль линии магнитной индукции частицу сила Лоренца не действует. Вот почему частицы свободно могут приближаться к полюсам, откуда веером расходятся линии магнитной индукции.
Кроме того, магнитное поле Земли удерживает на большой высоте заряженные частицы не слишком больших энергий. Эти области с повышенной концентрацией заряженных частиц, окружающих земной шар, называют радиационными поясами. Большинство частиц внешнего радиационного пояса Земли составляют электроны, а её внутреннего радиационного пояса — протоны (рис. 3.45).
Протоны задерживаются более сильным магнитным полем во внутреннем радиационном поясе. В радиационных поясах заряженные частицы движутся от одного полюса к другому, оставаясь в «магнитной ловушке».
Вопросы:
а) электрической составляющей силы Лоренца;
б) магнитной составляющей силы Лоренца?
2. В каком случае магнитная составляющая силы Лоренца будет максимальной?
3. Как можно определить направление магнитной составляющей силы Лоренца, действующей:
а) на положительно заряженную частицу;
б) на отрицательно заряженную частицу?
4. Для чего используют:
5. Как влияет магнитное поле Земли на потоки космических лучей?
Вопросы для обсуждения:
1. Действует ли магнитная составляющая силы Лоренца:
а) на незаряженную частицу в однородном магнитном поле;
б) на заряженную частицу, покоящуюся в магнитном поле;
в) на заряженную частицу, движущуюся вдоль линий магнитного поля?
Пример решения задачи
Модуль скорости электрона равен 10 6 м/с. В направлении осей X и Y магнитное поле безгранично. На каком расстоянии от точки влёта электрон вылетит из поля? Отношение заряда электрона к его массе e/m = 1,76 ∙ 10 11 Кл/кг.
В магнитном поле под действием магнитной составляющей силы Лоренца электрон опишет дугу окружности. Найдём её радиус R. Запишем второй закон Ньютона:
Ответ: l = 8 мм.
Упражнения:
1. Протон в магнитном поле с индукцией 0,01 Тл описал окружность радиусом 10 см. Чему равна скорость протона?
2. Найдите ускорение протона, который движется со скоростью 2 м/с в магнитном поле с индукцией 3 мТл перпендикулярно линиям магнитной индукции.
3. Определите кинетическую энергию электрона, движущегося по окружности радиусом 1 см в однородном магнитном поле с индукцией 0,03 Тл. Приведите ответ в Дж и в эВ.
4. Протон с энергией 600 эВ влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,33 Тл перпендикулярно линиям магнитной индукции. Найдите радиус траектории протона. Будет ли изменяться кинетическая энергия протона при движении в этом магнитном поле?
5. Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 9,4 мТл так, что вектор его скорости составляет угол 30° с направлением линий магнитной индукции (рис. 3.47).
Определите радиус витков траектории электрона и расстояние, пройденное им вдоль линии магнитной индукции за три витка. Скорость электрона равна 2,5 ∙ 10 6 м/с.
Как двигается протон в магнитном поле
Протон в однородном магнитном поле между полюсами магнита под действием силы Лоренца движется по окружности радиусом R. В этом же поле движется 
-частица. Как изменятся по сравнению с протоном модуль силы Лоренца и период обращения -частицы, если она будет двигаться по окружности такого же радиуса, что и протон?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
| Модуль силы Лоренца | Период обращения -частицы |
На заряженную частицу в магнитном поле действует сила Лоренца, которая сообщает ей центростремительное ускорение:
Поскольку массы и заряды протона и -частицы связаны соотношениями
заключаем, что при таком же радиусе окружности, скорость -частицы должна быть в 2 раза меньше скорости протона. Следовательно,модуль силы Лоренца не изменится.
Период обращения при этом увеличится в два раза.
