Модель управления запасами с учетом скидок

Выходные параметры модели Уилсона
1) Q – размер заказа, [ед. тов.];
2) L – общие затраты на управление запасами в единицу времени, [руб./ед.t];
3) t – период поставки, т.е. время между подачами заказа или между поставками, [ед.t];
4) h₀ – точка заказа, т.е. размер запаса на складе, при котором надо подавать заказ на доставку очередной партии, [ед. тов.].
Циклы изменения уровня запаса в модели Уилсона графически представлены на рис. 11.1. Максимальное количество продукции, которая находится в запасе, совпадает с размером заказа Q.

Рис. 11.1. График циклов изменения запасов в модели Уилсона

Формулы модели Уилсона

(11.1)
где Q_w – оптимальный размер заказа в модели Уилсона;

График затрат на УЗ в модели Уилсона представлен на рис. 11.2

Рис. 11.2. График затрат на УЗ в модели Уилсона

11.1.2. Модель планирования экономичного размера партии

Модель Уилсона, используемую для моделирования процессов закупки продукции у внешнего поставщика, можно модифицировать и применять в случае собственного производства продукции. На рис. 11.3 схематично представлен некоторый производственный процесс. На первом станке производится партия деталей с интенсивностью l деталей в единицу времени, которые используются на втором станке с интенсивностью u [дет./ед.t].

Рис. 11.3. Схема производственного процесса

Входные параметры модели планирования экономичного размера партии
1) l – интенсивность производства продукции первым станком, [ед. тов./ед. t];
2) u – интенсивность потребления запаса, [ед. тов./ед. t];
3) s – затраты на хранение запаса, [руб./ед.тов.* ед. t];
4) K – затраты на осуществление заказа, включающие подготовку (переналадку) первого станка для производства продукции, потребляемой на втором станке, [руб.];
5) t_п – время подготовки производства (переналадки), [ед.t].

Выходные параметры модели планирования экономичного размера партии
1) Q – размер заказа, [ед. тов.];
2) L – общие затраты на управление запасами в единицу времени, [руб./ед.t];
3) t – период запуска в производство партии заказа, т.е. время между включениями в работу первого станка, [ед. t];
4) h₀ – точка заказа, т.е. размер запаса, при котором надо подавать заказ на производство очередной партии, [ед. тов.].

Формулы модели экономичного размера партии

где * – означает оптимальность размера заказа;

11.2. Методические рекомендации

Основная сложность при решении задач по УЗ состоит в правильном определении входных параметров задачи, поскольку не всегда в условии их числовые величины задаются в явном виде. При использовании формул модели УЗ необходимо внимательно следить за тем, чтобы все используемые в формуле числовые величины были согласованы по единицам измерения. Так, например, оба параметра s и u должны быть приведены к одним и тем же временных единицам (к дням, к сменам или к годам), параметры K и s должны измеряться в одних и тех же денежных единицах и т.д.

Задача № 11.01
Объем продажи некоторого магазина составляет в год 500 упаковок супа в пакетах. Величина спроса равномерно распределяется в течение года. Цена покупки одного пакета равна 2 руб. За доставку заказа владелец магазина должен заплатить 10 руб. Время доставки заказа от поставщика составляет 12 рабочих дней (при 6-дневной рабочей неделе). По оценкам специалистов, издержки хранения в год составляют 40 коп. за один пакет. Необходимо определить: сколько пакетов должен заказывать владелец магазина для одной поставки; частоту заказов; точку заказа. Известно, что магазин работает 300 дней в году.

Решение
Примем за единицу времени год, тогда u = 500 шт. пакетов в год, K =10 руб., s = 0,4 руб. шт. / год. Поскольку пакеты супа заказываются со склада поставщика, а не производятся самостоятельно, то будем использовать модель Уилсона.

Поскольку число пакетов должно быть целым, то будем заказывать по 158 штук. При расчете других параметров задачи будем использовать не Q*=158,11, а Q=158. Годовые затраты на УЗ равны

Подачу каждого нового заказа должна производиться через

Поскольку известно, что в данном случае год равен 300 рабочим дням, то

Заказ следует подавать при уровне запаса, равном

т.е. эти 20 пакетов будут проданы в течение 12 дней, пока будет доставляться заказ.

Задача № 11.02
На некотором станке производятся детали в количестве 2000 штук в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке с интенсивностью 500 шт. в месяц. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 50 коп. в год за одну деталь. Стоимость производства одной детали равна 2,50 руб., а стоимость на подготовку производства составляет 1000 руб. Каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке, с какой частотой следует запускать производство этих партий?

Решение
K =1000 руб., l = 2000 шт. в месяц или 24000 шт. в год, u = 500 шт. в месяц или 6000 шт. в год, s = 0,50 руб. в год за деталь. В данной ситуации необходимо использовать модель планирования экономичного размера партии.

Частота запуска деталей в производство равна

Общие затраты на УЗ составляют

11.3. Варианты задач для самостоятельного решения

Задача № 11.1
Используя график циклов изменения запасов в модели планирования экономичного размера партии (см. рис. 11.4), выведите формулы для расчета длительности периодов производства/использования запаса (t₁) и использования запаса (t₂).

Задача № 11.2
Постройте график общих годовых затрат на УЗ для задачи № 11.01 (Q (12.1)
где с – цена товара [руб./ед. тов.]; с u – затраты на покупку товара в единицу времени [руб./ед.t]. Если цена закупки складируемого товара постоянна и не зависит от Q, то ее включение в уравнение общих затрат приводит к перемещению графика этого уравнения параллельно оси Q и не изменяет его формы (см. рис. 12.1). Т.е. в случае постоянной цены товара ее учет не меняет оптимального решения Q_w.

Рис. 12.1. График затрат на УЗ с учетом затрат на покупку

Если на заказы большого объема предоставляются скидки, то заказы на более крупные партии повлекут за собой увеличение затрат на хранение, но это увеличение может быть компенсировано снижением закупочной цены. Таким образом, оптимальный размер заказа может изменяться по сравнению с ситуацией отсутствия скидок. Поэтому затраты на приобретение товара необходимо учитывать в модели покупок со скидками.

Новые входные параметры модели, учитывающей скидки
1) Q_р1, Q_p2 – точки разрыва цен, т.е. размеры покупок, при которых начинают действовать соответственно первая и вторая скидки, [ед. тов.];
2) с, с₁, с₂ – соответственно исходная цена, цена с первой скидкой, цена со второй скидкой, [руб./ед. тов.].
Влияние единственной скидки на общие затраты на УЗ показано на рис.12.2.
Чтобы определить оптимальный размер заказа Q*, необходимо проанализировать, в какую из трех областей попадает точка разрыва цены Q_р1 (см. рис. 12.2). Правило выбора Q* для случая с одной скидкой имеет вид:

Рис. 12.2. График затрат с учетом скидок: a) Q* = Q_w?; b) Q* = Q_p1; с) Q* = Q_w

12.2. Методические рекомендации

Правильность решения задач с УЗ со скидками в большой степени определяется качественно построенным графиком общих затрат с указанием на графике всех параметров, используемых при решении. Поэтому в первую очередь необходимо анализировать ситуацию графически и только после этого проводить численные вычисления. Например, если внимательно проанализировать ситуации на рис. 12.2, то можно принимать решение без непосредственного использования правила (12.2). Зрительно легко определить более «выгодный» объем заказа, найдя точку, координата которой по оси L лежит ниже других вариантов заказов.
При решении задач с двумя скидками сначала находится оптимальный объем заказа с учетом первой скидки, а затем рассматривается вторая скидка, т.е. обе подзадачи решаются по правилу (12.2).

Задача №12.01
Пусть затраты на заказ равны 10 руб., затраты на хранение продукции 1 руб. в сутки, интенсивность потребления товара 5 шт. в день, цена товара – 2 руб. за штуку, а при объеме закупки 15 шт. и более – 1 руб. Определите оптимальный размер заказа, цену покупки и затраты на УЗ.

Решение
Начинаем решение с приблизительного построения пунктирными линиями графиков двух функций общих затрат, соответствующих двум ценам, которые указываем над соответствующими линиями затрат: с = 2 руб./шт. и с₁ = 1 руб./шт. (рис. 12.3).

Рис. 12.3. Общие затраты на УЗ к задаче № 12.01

Поскольку объем заказа, задаваемый формулой Уилсона (11.1), легко определяется зрительно как точка минимума обеих функций, то без предварительных вычислений графически находим объем Уилсона w Q и отмечаем его на графике.
Только после этого, используя параметры K =10 руб., u =5 шт. в день, s =1 руб. за 1 шт. в сутки, вычисляем значение Q_w и подписываем его на графике под обозначением Q_w.

Рис. 12.4. Построение Q₁ на графике общих затрат УЗ задаче № 12.01

Только после этого найдем Q₁ численно. Используя рис. 12.4, запишем выражение, показывающее равенство затрат,

(12.3)
с численными значениями параметров:

После использования (12.1) для раскрытия левой и правой частей (12.3) получаем

Q₁ = 26,18 шт. или Q₁ = 3,82 шт.
Всегда выбираем больший из корней Q₁ = 26,18, т.к. меньший по значению корень не дает нам информации о границе областей II и III (см. рис. 12.4), и отмечаем численное значение 26,18 на графике. Таким образом, точка разрыва цен Q_p1 = 15 попадает в область II, т.к. 10
Рис. 12.5. Оптимальное решение задачи № 12.01

После этого сплошной линией обведем те участки обеих функций затрат, которые соответствуют действующим ценам, т.е. до объема Q_р1 = 15 обведем верхнюю линию затрат, а после – нижнюю.
Согласно правилу (12.2) и графику (см. рис. 12.5) оптимальным является объем заказа Q* = 15 шт. по цене 1 руб./шт. Таким образом, в данной ситуации скидкой пользоваться выгодно. Общие затраты при этом составляют [руб./ сут.]. Если бы заказывали по 10 шт. товара, то общие затраты составили бы 20 рублей, т.е. при заказе в 15 шт. экономия средств составляет 4,17 рублей в сутки.

Задача № 12.02
Рассмотрим задачу № 11.01. Пусть поставщик супа в пакетах предоставляет следующие скидки

Следует ли владельцу магазина воспользоваться одной из скидок, предоставляемых поставщиком? Каковы при этом будут размер заказа и общие затраты на УЗ?

Решение 1. Строим пунктирными линиями графики трех функций затрат и обозначаем на них соответствующие цены с = 2, с₁ =1,96 и с₂ = 1,92 (рис. 12.6).
Строим на графике точку, соответствующую Q_w.

Рис. 12.6. Решение задачи № 12.02 с двумя скидками

Q₁ = 343 шт.
5. Используя правило (12.2) и график на рис. 12.6, находим более дешевый объем заказа (с учетом только первой скидки) Q* 1 = Q_p1 = 200.
6. Чтобы рассмотреть вторую скидку, построим на графике уровень затрат, соответствующий заказу, оптимальному при действии только первой скидки, т.е. Q_p1 = 200 и цене с₁ = 1,96 руб./шт. При пересечении этого уровня и третьей линии общих затрат графически определяем Q₂.
7. Находим численно Q₂ =354.
8. Используя правило (12.2) и график затрат, находим наиболее дешевый объем заказа с учетом первой и второй скидок Q_p1 = 200.
9. Таким образом, пользоваться второй скидкой владельцу магазина невыгодно. Оптимальный для него вариант – заказывать 200 пакетов по цене 1,96 руб./шт. обойдется в L_1,96(200) = 1045 [руб./год].

Источник

2. ЛОГИСТИКА ЗАПАСОВ

2.3. Модели управления запасами

2.3.1. Нормирование запаса

Управление запасами заключается в решении двух основных задач:

1) определение размера необходимого запаса, т.е. нормы запаса, и частоты его пополнения;

2) создание системы контроля за фактическим размером запаса и своевременным его пополнением в соответствии с установленной нормой.

Норма запаса – расчетный минимальной уровень запасов, который должен быть на складе предприятия для обеспечения бесперебойного снабжения производства продукции или реализации товаров. Для определения норм запасов используют три группы методов: эвристические методы, методы технико-экономических расчетов и экономико-математические методы.

Эвристические методы предполагают использование опыта специалистов, которые изучают отчетность за предыдущий период, анализируют рынок и принимают решения о минимально необходимых запасах, основанные, в значительной степени, на субъективном понимании тенденций развития спроса. В качестве специалиста может выступать работник предприятия, постоянно решающий задачу нормирования запасов. В этом случае метод решения задачи называется опытно-статистическим. Если используется опыт сразу нескольких специалистов, то их субъективные оценки ситуации анализируются по специальному алгоритму, проверяются на непротиворечивость и трансформируются в окончательное решение, близкое к оптимальному. Такой метод называется методом экспертных оценок.

Метод технико-экономических расчетов заключается в разделении совокупного запаса в зависимости от целевого назначения на отдельные группы, например, номенклатурные или ассортиментные позиции. Затем для этих групп отдельно рассчитываются страховой, текущий и сезонный запасы. Каждый из этих уровней также может быть разделен на более мелкие составляющие, например, страховой запас на случай нарушения поставок, или страховой запас на случай увеличения спроса и т.д. Метод технико-экономических расчетов позволяет довольно точно определять необходимый размер запасов, но отличается большой трудоемкостью. Такой подход используется также в системе MRP (см. п.7.5.2 [2]).

Экономико-математические методы позволяют определять норму запаса на основе построенных математических моделей УЗ, либо с помощью методов экстраполяции прогнозировать будущий запас на основе темпов изменения и тенденций в образовании и запасов в предыдущем периоде.

Эффективность работы систем УЗ во многом зависит от того, насколько точно будет предсказан спрос на ресурс и, следовательно, насколько правильно будет проведено нормирование. Это является довольно сложной задачей. Выделяют следующие типы спроса по степени определенности и неизменности его величины (рис.2.3)

Рис.2.3. Классификация типов спроса

Детерминированный спрос точно известен заранее, в отличие от вероятностного спроса. При статическом типе спроса интенсивность потребления ресурса остается неизменной во времени, при динамическом типе спроса интенсивность потребления изменяется в зависимости от времени. При стационарном типе спроса его функция плотности вероятности неизменна во времени, а при нестационарном – функция плотности вероятности спроса изменяется во времени.

По признаку источника возникновения спрос разделяют на независимый и зависимый. Независимый спрос – спрос, который складывается из отдельных составляющих спроса большого числа потребителей, каждый из которых испытывает потребность независимо от других. Зависимый спрос имеет место, когда производитель использует ряд компонентов для изготовления ГП, спрос на каждый из компонентов связан друг с другом и зависит от производственного плана изготовления ГП.

При независимом типе спроса используется подход, при котором запасы не связываются с производственными планами, и поэтому они должны быть достаточно высокими, чтобы удовлетворить любой возможный спрос. Эти запасы снижаются во время производства, но вскоре снова пополняются. Общая динамика изменения запасов при независимом и зависимом спросе показана соответственно на рис. 2.4 (a) и (б).

Рис.2.4. Сопоставление динамики изменения объема запасов

при зависимом и независимом спросе

При наличии зависимого спроса может быть использован подход MRP –планирования потребности в материалах (material requirements planning) (см. п.7.5.2 [2]). Суть этого подхода заключается в расчете потребностей во всех видах материалов, сырья, комплектующих, деталей, необходимых для производства каждого продукта из плана производства в требуемом объеме, и подаче соответствующих заказов на поставку. В расчетах используются ведомости спецификации – упорядоченный список всех составляющих, необходимых для производства конкретного продукта.

Еще одним способом планирования является подход «точно в срок» (just in time) или JIT (см. п.7.5.4 [2]). Цель JIT – обеспечение доставки материалов непосредственно ко времени выполнения конкретных операций, благодаря чему запас фактически уничтожается. На рис. 2.5 представлены объемы запасов при различных подходах к планированию.

Рис. 2.5. Уровень запасов при различных подходах к управлению запасами

Причиной снижения уровня запасов, показанной на рис. 2.5 (б) и (в), является увеличивающая координация между спросом на рынке сбыта и спросом предприятия на материалы, поставляемые поставщиками.

2.3.2. Статические модели управления запасами

Обобщенная модель оптимальной партии поставки с учетом невыполненных заявок

Входные параметры модели

1) n – интенсивность потребления запаса [ед.тов./ед.t];

2) l – интенсивность производства заказа [ед.тов./ед.t];

3) s – затраты на хранение запаса [руб./ед.тов.*ед.t];

4) d – штраф за дефицит [руб./ед.тов.*ед.t];

5) K – затраты на осуществление заказа [руб.].

Выходные параметры модели

1) Q – размер заказа [ед.тов.];

2) t – период поставки [ед.t];

3) –длительность i-го этапа цикла изменения запаса;

4) L – общие затраты на управление запасами в единицу времени, [руб./ед.t];

5) Н – максимальный уровень запаса на складе [ед.тов.];

6) h – максимальный уровень дефицита [ед.тов.].

Данная модель основана на допущении, что существует производственный процесс, в котором на первом станке производится партия деталей с интенсивностью , которые используются на втором станке с интенсивностью (рис.2.6).

Рис.2.6. Принципиальная схема производственного процесса

Невыполненные заявки на потребляемый продукт накапливаются и немедленно удовлетворяются по мере новых поступлений продукта. Длительность цикла изменения запасов разделяется на 4 этапа (рис.2.7):

1) t₁ – заказанный продукт производится, произведенный продукт потребляется ® запас накапливается;

2) t₂ – заказанный продукт не производится, запас потребляется ® запас уменьшается до нуля;

3) t₃ – заказанный продукт не производится, запас отсутствует ® невыполненные заявки накапливаются, дефицит увеличивается;

4) t₄ – заказанный продукт производится, задолженные заявки выполняются ® запас отсутствует, дефицит уменьшается до нуля.

Рис.2.7.График циклов изменения запасов в обобщенной модели УЗ

с учетом невыполненных заявок

Формулы модели

; ; ;

; ; ; ;

; .

Обобщенная модель оптимальной партии поставки с потерей невыполненных заявок

Данная модель характеризуется тем, что в течение периода t₃ заказанный продукт не производится, запас отсутствует, дефицит увеличивается, но при этом невыполненные заявки не накапливаются, а теряются (рис.2.8). При этом штраф за дефицит в модели с потерей невыполненных заявок выше, чем в модели с учетом невыполненных заявок.

Рис.2.8.График циклов изменения запасов в обобщенной модели УЗ

с потерей невыполненных заявок

Формулы модели

; ;

; ; ; ; .

Каждая из рассмотренных обобщенных моделей УЗ имеет по четыре возможных ситуации УЗ:

1) продукт производится (), дефицит допускается () (см. рис.2.7, 2.8);

2) продукт закупается (), дефицит допускается ();

3) продукт производится (), дефицит запрещен ();

4) продукт закупается (), дефицит запрещен () – модель Уилсона (рис.2.9).

Рис.2.9. График циклов изменения запасов в модели Уилсона

Модель УЗ, учитывающая скидки

Данная модель учитывает возможность предоставления скидок покупателю при покупке партии товара определенного размера. При этом заказы на более крупные партии с одной стороны повлекут за собой снижение затрат на закупку и доставку, а с другой стороны – увеличение затрат на хранение. Таким образом, оптимальный размер заказа может изменяться по сравнению с ситуацией отсутствия скидок. Подробное описание модели УЗ, учитывающей скидки, приведено в п.12 [3].

2.2.3. Динамические системы УЗ

В реальных условиях УЗ некоторые параметры могут меняться в течение определенного планового периода по следующим причинам:

· изменение интенсивности потребления в ту или другую сторону;

· задержка или ускорение поставки;

· поставка незапланированного объема заказа;

· ошибки учета фактического запаса, ведущие к неправильному определению размера заказа.

В табл.2.1 представлены возможные возмущающие воздействия, приводящие систему в состояние либо дефицита МЗ, либо складских площадей. На практике могут иметь место разнообразные сочетания воздействий, перечисленных в правом и левом столбцах табл.2.1.

Возможные возмущения в системе управления запасами

Источник