cos2a, sin2a. Формулы двойного угла. Примеры на ЕГЭ
Примеры решения задач из ЕГЭ на формулы двойного угла
Вычислим \(\cos\frac<5π><6>\) с помощью тригонометрического круга. Сначала найдем \(\frac<5π><6>\) на круге:
Все аргументы разные и что с этим делать не понятно. Однако присмотревшись, замечаем, что \(98^°\)ровно в два раза больше \(49^°\). То есть, имеет смысл разложить синус в числителе по формуле двойного угла.
Одинаковые синусы можно сократить.
Теперь обратите внимание на то, что \(49^°=90^°-41^°\).
Поэтому мы можем заменить \(49^°\) на \(90^°-41^°\).
\((90^°-41^°)\) – это первая четверть, косинус в ней положителен. Значит, знак будет плюс;
Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(\sqrt<12>\cos^2\frac<5π><12>-\sqrt<3>\).
Теперь можно вынести \(\sqrt<3>\) за скобки.
Вот теперь видно, что перед нами формула косинуса двойного угла.
Теперь применим к косинусу формулу приведения:
\((π-\frac<π><6>)\) – это вторая четверть, косинус в ней отрицателен. Значит, знак будет минус;
Основные тригонометрические формулы и тождества sin, cos, tg, ctg
Основные тождества тригонометрии
Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.
Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).
Формулы приведения
Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.
Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.
Тригонометрические формулы сложения
Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.
Тригонометрические формулы сложения
На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.
Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.
Формулы половинного угла
Формулы понижения степени
Часто при расчетах действовать с громоздктми степенями неудобно. Формулы понижения степени позволяют понизить степень тригонометрической функции со сколь угодно большой до первой. Приведем их общий вид:
Общий вид формул понижения степени
Сумма и разность тригонометрических функций
Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.
Сумма и разность тригонометрических функций
Произведение тригонометрических функций
Формулы произведения тригонометрических функций
Универсальная тригонометрическая подстановка
Универсальная тригонометрическая подстановка
Основное тригонометрическое тождество
9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Связь между sin и cos одного угла
Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.
Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.
Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:
sin 2 α + cos 2 α = 1
Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.
Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.
В результате деления получаем:
Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.
Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.
Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1
Образовался прямоугольный треугольник OA1B.
Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:
Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.
Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.
Исходя из определений:
Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества
задаются sin и cos углов.
Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.
Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества
верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.
применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.
Связь между тангенсом и котангенсом
Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.
Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.
tg α * ctg α = 1.
Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.
Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.
Тангенс и косинус, котангенс и синус
Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.
Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:
Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.
Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.
Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin 2 α + cos 2 α = 1.
Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.
Основные тригонометрические тождества
sin 2 α + cos 2 α = 1
tg 2 α + 1 = 
1 + ctg 2 α = 
Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.
Примеры решения задач
Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.
Задачка 2. Найдите значение cos α,
если: 
Подставляем значения sin α:
Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.
cos^2 (2a) + sin^2 (2a)
Здравствуйте!
Чему равно выражение cos^2 (2a) + sin^2 (2a)?
Помогите, пожалуйста.
Спасибо!
Задание.
Найти значение выражения:
cos^2 (2a) + sin^2 (2a).
Решение.
Посмотрев на заданное выражение и увидев сумму квадратов синуса и косинуса приходит на ум основное тригонометрическое тождество, в котором также присутствует сумма квадратов этих функций, причем от одинаковых аргументов. Чтобы более визуально показать, что можно к данному выражению применить это тождество, выполним замену аргумента обеих тригонометрических функций на произвольную переменную, например, переменную u. Итак, выполним следующую замену:
Запишем заданное выражение с этой заменой:
Применим теперь основное тригонометрическое тождество, которое в общем виде выглядит следующим образом:
В нашем случае в роли переменной 
выступает переменная u. Запишем результат использования тождества:
Вернемся от замены переменной к исходному аргументу:
В результате получаем, что:
Ответ. 1.
На самом деле при решении подобных заданий такое длинное объяснение и расписывание всех шагов решения не нужно. При приобретении некоторого опыта применения тригонометрического тождества Вы сразу будете замечать выражения, к которым это тождество может быть применимо.
cos^2 (2a) + sin^2 (2a)
Здравствуйте!
Чему равно выражение cos^2 (2a) + sin^2 (2a)?
Помогите, пожалуйста.
Спасибо!
Задание.
Найти значение выражения:
cos^2 (2a) + sin^2 (2a).
Решение.
Посмотрев на заданное выражение и увидев сумму квадратов синуса и косинуса приходит на ум основное тригонометрическое тождество, в котором также присутствует сумма квадратов этих функций, причем от одинаковых аргументов. Чтобы более визуально показать, что можно к данному выражению применить это тождество, выполним замену аргумента обеих тригонометрических функций на произвольную переменную, например, переменную u. Итак, выполним следующую замену:
Запишем заданное выражение с этой заменой:
Применим теперь основное тригонометрическое тождество, которое в общем виде выглядит следующим образом:
В нашем случае в роли переменной выступает переменная u. Запишем результат использования тождества:
Вернемся от замены переменной к исходному аргументу:
В результате получаем, что:
Ответ. 1.
На самом деле при решении подобных заданий такое длинное объяснение и расписывание всех шагов решения не нужно. При приобретении некоторого опыта применения тригонометрического тождества Вы сразу будете замечать выражения, к которым это тождество может быть применимо.
